تذكير رياضي ( المثلثـــــــاث les triangles)

دروس تخصص طبوغرافي BT                                                                                             مارس 2021

تـذكيــــر ريـــــاضي 

( المثلثـــــــاثles triangles )

 المثلث القائم Un triangle rectangle :

 المثلث القائم أو مثلث قائم الزاوية هو مثلث إحدى زواياه قائمة أي أن ضلعين في المثلث القائم يشكلان زاوية قياسها 90°

خواص المثلث القائم :

- مجموع زوايا المثلث يسـاوي 180 درجة ( 200 غراد )

- نظرية فيثاغوس     

حيث c هو طول الوتر وa ,b طول الضلعان القائمان.

قانون الجيب la loi des sinus :

في حساب المثلثات، قانون الجيب هو قانون أو معادلة تربط بين أطوال أضلاع المثلث بجيوب زواياه الداخلية طبقاً للعلاقة:

حيث c ،b ،a هي أطوال أضلاع المثلث، وC ،B ،A، هي الزوايا المقابلة لهذه الأضلاع على الترتيب.

من المفيد أحياناً كتابة قانون الجيب بصورة مقلوبة:

${\displaystyle {\frac {sinA}{a}}={\frac {sinB}{b}}={\frac {sinC}{c}}}$

قانون جيب التمام la loi des cosinus :

قانون جيب التمام  (مبرهنة الكاشي théorème d'Al-Kashi ) هي مبرهنة في هندسة المثلثات تربط ضلع أي مثلث بضلعيه الآخرين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. 

ينص قانون جيب التمام على أنه في أي مثلث أطوال أضلاعه a, b, c المقابلة للزوايا α, β, γ فإنَّ:

                      

ملاحظة : في المثلث ABC الزوايا α, β, γ هي المقابلة على الترتيب للأضلاع a, b, c.

قانون جيب التمام يُعمم نظرية فيثاغورس لأي مثلث بأي زوايا.

 بوضع ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }}$ نجد أنَّ ${\displaystyle \cos \gamma =0}$ ومنها نظرية فيثاغورس ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$.

---------------------------------------------------------------

                                                 تطبــيــــق

لدينا خط الاسناد AB يستعمل من أجل تحديد المسافة الأفقية الفاصلة بين موقعين لإستكشاف المياه G2  و G1 (أنظر الشكــل 1) تتم العملية بوضع جهاز المزولة théodolite  في النقطة A ثم النقطة B و قياس الزوايا الأفقية الموضحة في الشكل أدناه، النقطتين A B تم إختيارهما بحيث تكون المسافة الأفقية AB تساوي 50 متر.

المطلوب : - أحسب المسافة الأفقية بين الموقعين  G2  و G1؟

ملاحظة : في هذا التطبيق نلاحظ  من خلال العمل الميداني أنه يتعذر وضع القامة في موقعي الإستكشاف  لذلك تم لأخذ قياسات زاوية انطلاقا من خط الإسناد AB .

------------------------------------------------------------------------------

                                                 حل التطبــيــــــق

حل المثلث A-B-G₁

A-G₁-B = 46,71 g الزاوية الأفقية

 A-G₁ = 37,3303 m  المسافة الأفقية

 B-G₁ = 71,0274 m المسافة الأفقية

حل المثلث A-B-G₂

A-G₂-B = 43,01 g الزاوية الأفقية

 A-G₂ = 69,8018 m المسافة الأفقية

 B-G₂ = 30,0855 m.المسافة الأفقية 

حل المثلث A-G₁-G₂

 المسافة  الأفقية  G₁-G₂ = 76,7438 m المسافة الأفقية

حل المثلث B-G₁-G₂ 

 المسافة  الأفقية  G₁-G₂ = 76,7407 m  المسافة الأفقية

 لذلك يمكننا القول بأن المسافة الأفقية  بين الموقعين هي : متر  G1-G2 = 76.7

لاحظ أن الحساب المزدوج يسمح فقط بالتحكم في الحسابات وليس التحقق من قياسات الأرض، و يعتبر الحل  الرياضي الوحيد في هذه الحالة.

الرسم البياني مصحح 

أستاذ التمهين / حريز عامر 

بالتوفيق